傳輸線心得筆記

參考影片 https://www.youtube.com/watch?v=UQpdYpRzZJI&list=PLj6E8qlqmkFvyNYNWevqoAHr0CxA0WgkI&index=24

電磁波在傳輸線上波動時, 電壓 v, 電流 i, 阻抗 z 示意圖:
i(z, t) ->                 <-   i(z+Δz,t)
v(z,t) +  電感 L -- 電阻 R  ---  v(z+Δz,t)
    z(l) :: 電容 C // 電導 G  ...
       -   0 ---------- GND

電壓 v(z, t), 電流 i(z, t)關係式, z 阻抗(與時間 t 無關, 只與所在位置 l 有關), 當 Δz 逼近於 0 時, 波動方程式可以寫成:
     -∂v(z, t)/∂z = R * i(z, t) + L * ∂i(z, t)/∂t    <-- KVL
     -∂i(z, t)/∂z = G * v(z, t) + C * ∂v(z, t)/∂t    <-- KCL
將上式改用相位式 phsor form, 目的是去除時間因子, 對時間微分一次只要乘上  jω
     -δV(Z)/δZ = R*I(Z) + jωL*I(Z) = (R + jωL)*I(Z)    <-- KVL phsor form
     -δI(Z)/δZ = G*V(Z) + jωC*V(Z) = (G + jωC)*V(Z)    <-- KCL phsro form
令 ' 代表對阻抗(空間)的一次微分, " 代表對阻抗空間的二次微分, I 與 V 只是阻抗空間 Z 的函數, 簡單重寫一遍:
     V' =  -(R + jωL)I --- 第 (1) 式
     I' =  -(G + jωC)V --- 第 (2) 式
將第 (1), (2) 式再微分一次:
     V" = -(R + jωL)I'
     I" = -(G + jωC)V'
將第 (1), (2) 式 V', I' 再帶回上式:
     V" = (R + jωL)(G + jωC)I
     I" = (R + jωL)(G + jωC)V
令傳播常數 γ = [(R+ jωL)(G +jωC)]½ = α + jβ, 就可得電壓 V 及電流 I 的波動方程式:
     V" = γ²I
     I" = γ²V
函數微分兩次還是等於該函數形式, 顯然就是指數函數. 可以將正向(+)及反射(-)傳播的
波振幅 A 和相位 φ 用指數函數 Ae(jφ) 來代表波函數, 根據疊加原理(superposition),
把波函數組合起來就是波動方程式的通解:
     V(Z) = V⁰e(-γZ) + V⁰⁻e(γZ)
     I(Z) = I⁰e(-γZ) + I⁰⁻e(γZ)
在波動方程式中, 首項是正向波往 +Z 方向傳播, 次項則是反射波往 -Z 方向傳播,
當傳輸線無限長時或是阻抗匹配(Zi = Z⁰)時, 就無反射波, 波動方程式只剩 +Z 方向傳播:
     V(Z) = V⁰e(-γZ)
     I(Z) = I⁰e(-γZ)
把電壓除以電流, 指數函數 e(-γZ) 消掉, 可得到特徵阻抗 characteristic impedance,
它是常數與位置無關, 類似電磁場對比常數 η = E/H
     Z⁰ = V(Z)/I(Z) = V⁰/I⁰
把 V(Z), I(Z) 帶回第 1, 2 式就可得到
     Z⁰ = (R + jωL)/γ
        = γ/(G + jωC)
        = [(R + jωL)/(G + jωC)]½
        = R⁰ + jX⁰
     其中 γ = [(R+ jωL)(G +jωC)]½ =  α + jβ 是複數
特性阻抗 Z⁰ (式虛數: 實部 R⁰, 虛部 X⁰)與 R L G C ω 有關

理想狀況無耗損時 (lossless):  G = 0 , R = 0
     γ = jω*(LC)½ = jβ  波動常數是純虛數:  實部 α = 0,   虛部 β = ω*(LC)½
     Z⁰ 是純實數 =  R⁰ =  (L/C)½, 虛部 X⁰ = 0
     相速度 up = ω/β = (1/LC)½ = 常數

低耗損 low loss (R << ωL, G << ωC)時, 利用泰勒展開式近似估算
     γ ~= jω *(LC)½ * [1 + (R/L + G/C)/2jω] = α + jβ
     實部 α = (LC)½*(R/L +G/C)/2 , 振幅會衰減
     虛部 β = ω*(LC)½ 基本上不變, 近似無損情況
     Z⁰ ~=(L/C)½* [1 + (R/L - G/C)/2jω] = R⁰ + jX⁰
     實部 R⁰ = (L/C)½ 不變, 同無損情況
     虛部 X⁰ = (L/C)½*(G/ωC - R/ωL)/2, 逼近 0

有耗損但不失真(distortionless)條件 R/L = G/C, 相速度不變, 波形不變, 只有振幅會衰減
     Z⁰ = [L(R/L + jω)/C(G/C + jω)]½ = (L/C)½ 純實部 R⁰, 虛部 X⁰ = 0, 同無損情況
     γ  = (LC)½*(R + jωL) = α + jβ
     實部 α = (C/L)½ * R 因傳輸線電阻所造成的衰減常數, 影響振幅
     虛部 β = ω*(LC)½ 相位不變, 同無損情況
     相速度 up = ω/β = (1/LC)½ = 常數, 只跟 LC 有關

     ex) 無失真傳輸線 Z⁰ = 50, C = 0.1nF/m, 衰減量 = 0.01 db/m, 計算 R, L, G, up
          0.01 = -20*log10[e(-α)] = α * 20log10(e)
          α = 0.01/20log10(e) = 0.01/8.69 = 1.15e-3
          Z⁰ = 實部 R⁰ = (L/C)½
          R = α * R⁰ = 50 * 1.15e-3 = 0.057 Ω/m
          L = C * Z⁰² = 0.1e-9 * 50 * 50 = 0.25 uH/m
          G = R/Z⁰² = 22.8u A/Vm
          相速度 up = (1/LC)½ = 2e8 m/s

     ex) 外徑 4.95mm RG58 同軸電纜使用 33 AWG 導線, Z⁰ = 50, 衰減量 0.377 db/m@400MHz, C = 101 pF/m, 假設訊號不失真
          0.377 = -20*log10[e(-α)] = α * 20log10(e)
          α = 0.377/8.685889638 = 0.0434
          R = α * R⁰ = 50 * 0.0434 = 2.17  Ω/m
          L = C * Z⁰² = 101e-12 * 50 * 50 = 0.2525 uH/m
          G = R/Z⁰² = 2.17/2500 = 868 A/Vm
          up= (1/LC)½ = [1/(0.2525e-6*101e-12)]½ = 1.98e8 m/s
          與光速對比 ratio = up/3e8 = 1.98e8/3e8 = 0.66

特性阻抗 Z⁰ 的傳輸線,負載 = ZL, 輸入阻抗是長度 l 的函數
     Zi(l) = Z⁰*(ZL + Z⁰*tanh(γl))/(Z⁰ + ZL*tanh(γl))
     虛數的雙曲線函數:
          sinh(jx) = [e(jx) - e(-jx)] / 2 = j*sin(x)
          cosh(jx) = [e(jx) + e(-jx)] / 2 = cos(x)
          tanh(jx) = sinh(jx)/cosh(jx)
                   = [e(jx) - e(-jx)] / [e(jx) + e(-jx)]
                   = j*sin(x)/cos(x)
                   = j*tan(x)

無損傳輸線 lossless transmission line γ = jβ, Z⁰ = R⁰, β = 2π/λ
     Zi(l) = R⁰[ZL + R⁰*tanh(jβl)]/[R⁰ + ZL*tanh((jβl)]
           = R⁰[ZL + jR⁰*tan(βl)]/[R⁰ + jZL*tan((βl)]

當負載開路時 ZL -> ∞
     Zi(l) = -jR⁰/tan(βl) 純虛數, 根據長度可以變成電感性或電容性負載
     βl   < λ/4       電容
     λ/4  < βl < λ/2  電感
     λ/2  < βl < 3λ/4 電容
     3λ/4 < βl < λ    電感
     當 βl << λ, tan(βl) = βl
     Zi(l) = -jR⁰/βl = 1/jω(Cl)
     一段很短的開路傳輸線, 可以當成等效電容 = Cl

當負載短路時 ZL = 0
     Zi(l) = jR⁰tan(βl) 純虛數, 根據長度可以變成電感性或電容性負載
     βl   < λ/4       電感
     λ/4  < βl < λ/2  電容
     λ/2  < βl < 3λ/4 電感
     3λ/4 < βl < λ    電容
     當 βl << λ, tan(βl) = βl
     Zi(l) = jR⁰βl = jω(Ll)
     一段很短的短路傳輸線, 可以當成等效電感 = Ll

量測傳播常數 γ 及特性阻抗 Z⁰ 方法:
     短路時, 量得阻抗 Zis
     開路時, 量得阻抗 Zio
     Zis*Zio = jZ⁰tan(βl) * -jZ⁰/tan(βl) = (Z⁰)²
     Z⁰ = (Zis * Zio)½
     Zis/Zio = R⁰tanh(jβl)/[R⁰/tanh(jβl)] = tanh²(jβl)
     γ  = tanh⁻¹[(Zis/Zio)½] / l

     ex 9-6) 傳輸線 l = 1.5m < λ/4, Zis =  j103 Ω  電感, Zio = -j54.6 Ω 電容
          Z⁰ = (-j54.6 * j103)½ = 75 Ω
          γ = tanh⁻¹[(j103/-j54.6)½] / 1.5m
            = (1/1.5)tanh⁻¹(j1.373) = (j/1.5)tan⁻¹(1.373)
            = j0.628 rad/m

當 l = λ/4 時, quarter wave transmission line
     Zi(l) = (R⁰)²/ZL  變阻器
     負載短路時 Zi =  ∞
     負載開路時 Zi =  0

當 l = λ/2 時, βl = π, half wave transmission line
     Zi(l) = ZL

反射係數, 只要阻抗不匹配, 就一定會反射:
     Γ = (ZL - Z⁰)/(ZL + Z⁰)
     
測量電壓駐波比, 可以算出反射係數:
     VSWR = |Vmax|/|Vmin| = (1 + |Γ|) /(1 - |Γ|)
     |Γ| = (VSWR - 1) / VSWR + 1)