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符號主要是簡化數學式
微分
正三角符號 Δ 念作 delta 用來衡量前後的差異程度, 使用瞬時符號 δ 表示瞬間差異程度
假設座標函數 s 是時間函數 s = f(t)
任一點瞬時速度 v 等於 s 的一次微分:
平均速率 v = Δs/Δt , 加速度 a = Δv/Δt =Δ( (Δs/Δt)) / Δt
任一點的點瞬時速度 v(t) = lim {s(t + Δt) - s(t)}/Δt 當 Δt 逼近 0
v(t) = δs/δt = s'(t)
任一點瞬時加速度 a 等於 s 的二微分:
任一點的瞬時加速度 a(t) = lim {v(t + Δt) - v(t)}/Δt 當 Δt 逼近 0
a(t) = δv/δt = v'(t) = = s''(t) = s"(t)
這種細微差異對比符號 δf/δt, 用數學符號 f'= δf/δt 來表示對時間一次微分, f" 則代表對時間二次微分 ...
向量與微積分
用來描述空間上的差異程度, 用 ∂/∂. 符號(. 可能是 x 或 y 或 z) 針對特定座標軸作部份微分,
各座標軸方向分別用單位向量 î, ĵ, k̂ 來表示, 因此衡量相對空間 (x, y, z) 的差異程度而不考慮時間的部份, 就能使用倒三角符號 ∇ 念作 del, 簡化空間的一次微分運算式
∇ = î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z
空間中的二次微分運算 Del square ∇² 念作 Laplacian
∇² = ∇•∇ = (∂/∂x)(∂/∂x) + (∂/∂y)(∂/∂y) + (∂/∂z)(∂/∂z) = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²
知名的 Poisson's equation
∇² φ(x, y, z) = f(x, y, z)
1. 純量函數, 例如電壓 V(無單位向量 î, ĵ, k̂), 經過 ∇ 微分運算 (念作 gradient) 後變成向量, 也就是說, 會產生 "數值" 及 "方向", 數學式
E = -∇V = - î ∂V/∂x + ĵ ∂V/∂y + k̂ ∂V/∂z
其實 E 就是電力線, 或稱電場, 有方向性, 而電場的方向, 就是電壓遞減方向(正 -> 負), 對於正電荷可以產生推(+)力, 對於負電荷可以產生吸(-)力
F = qE
通常認為電流是正電荷流動產生的電荷流,實際上是負的電子流在流動,因電子帶的是負電荷,負負得正的結果,跟正電荷流的數學式剛好相同
F = -(qe)E = -(-q)E = qE, where qe = -q
陰極射線管(Cathode ray tube)實際上就是電子被電場從陰極(低電位)吸向陽極(高電位),電子經電場加速能量提升, 在能量躍遷過程
產生輻射, 打在螢光幕上產生低頻(長波長)可見光
2. 當 ∇ 與向量 A 相乘時, 就會有內積與外積兩種微分運算:
內積 ∇•A, 念作 divergence A, 簡寫 div A, 稱為 A 發散率, 也稱散度, 內積完後是純量
外積 ∇ X A, 念作 curl A, 是 A 的窩流率, 也稱旋度, 外積後是向量, 外積的方向並非 A 所在平面, 而是交叉面的法向量(normal vector)
3. 向量積分運算
Divergence theorem, 將電場發散率 ∇•E 體積分就會得到通量, 因此∇•E 單位是體密度, 電場 E 是束線, 電場 E 的通量方程式
Φ = ∭(∇•E)dv = ∯E•dS
Stoke theorem, 將窩流率 ∇ X B 在特定封閉面積分就會得到旋量, 因此∇ X B 單位是面密度, 磁場 B 是旋轉束線, 磁場 B 窩流量方程式
Γ = ∯∇xB•dS = ∮B•dl
7.6 著名的時變馬克士威爾方程式:
1. ∇XE = -∂B/∂t = -μ0∂H/∂t 場源是時變磁場, 法拉第定律
2. ∇XH = J + ε0∂E/∂t 場源除了單位面積的電流外, 還有時變感應電場, 安培定律
3. ∇•E = ρ/ε0 場源是單位體積電荷密度, 只要空間中有電荷, 就會有電場
4. ∇•B = 0 世上無磁單極可言, 因磁場是封閉迴路, 淨流通量 = 0
where ε0 = (1/36π) e-9, μ0 = 4π e -7
由 ∇XH = J + ε0∂E/∂t 可知
當導體中有電流, 或者電場變動時, 磁場窩流就會隨之起舞旋轉, 前者就是安培定律, 後者追加的是必歐沙伐定律,
當電流或者時變電場帶動磁場窩流產生磁通現象時
由 ∇XE = -μ0∂H/∂t 可知
因磁場隨時間發生變化時(時變磁場), 也會在空間中產生電場,時變電場又會繼續產生磁場,
只要交流能量不斷運送, 電磁場無窮盡循環產生, 擠壓後就會往外輻射.
天線是終端設備, 天線輻射能量多寡視交接處耦合程度而定, 當阻抗匹配時, 就會達到最大傳輸率
電磁場在自由空間本徵阻抗 η = E/H = sqrt(μ0/ε0) = 377 Ohm
天線可以看成是把電路中的特性阻抗與 377 Ohm 間相互轉換(匹配), 要儘可能避免能量反彈, 把它釋放到空間
全波長迴圈天線(loop antenna), 類似半波長偶極天線, 只不過電磁場異位
半波長偶極天線(正負端長度分別都是λ/2)特性阻抗輸入端大約是72 Ohm,視設計方式及放置狀況而定, 例如彎成 V 字型,可能會變成 50
1/4 波長偶極天線(正端露出 λ/4,負端接地)特性阻抗輸入端大約是 36 Ohm, 視接地設計方式及放置狀況而定
當輸出入阻抗不匹配時, 可以透過 λ/4 傳輸線或是電感 L 與電容 C 達成阻抗匹配降低能量反彈
傳輸線是能量傳輸媒介, 用來將能量傳導到終端設備, 特性阻抗視中間介質(ε, μ)而定, 儘可能不消耗能量
同軸電纜傳輸線特性阻抗輸出入端都是 50 Ohm,
Wifi 無線電路通常設計使用 50 Ohm 的傳輸線
Wifi 設計運作頻率是 2.4G hz, f = 2.4e9 Hz
c = λf
λ = c/f = 3e8 / 2.4e9 公尺 = 300/24 公分 = 12.5 公分
只要 λ/4 = 3.125 cm 的導線露出地平面, 它就是一個 2.4G 發射天線
當然還要設計阻抗匹配電路, 才能達到最好的傳輸效果
Source Free Maxwell equation: ρ = 0, J = 0
利用 ∇X(∇XE) = ∇(∇•E) - ∇•(∇E) = ∇(∇•E) - ∇²E
當 ρ = 0=> ∇•E = 0 => ∇X(∇XE) = -∇²E
根據馬克士威爾方程第 1 式 , 及第 2 式 令 J = 0
∇XE = -μ0(∂H/∂t), 兩邊都是向量, 再取 Curl
∇X(∇E) = -μ0(∇ X ∂H/∂t) = -μ0 ∂/∂t(∇ X H) = -(μ0ε0) ∂/∂t²E
-∇²E = -(ε0μ0)E"
改用 phasor form 一次微分乘上 jω, 二次微分乘上 (jω)² = -ω²
∇²E = -(ε0μ0)ω²E, 令 k = ω/u, u = sqrt(1/ε0μ0)
∇²E = -k²E,
E 是時空函數 f(x, y, z, t), 從時間軸來看是簡諧函式則
E = f(x,y,z) * e(jωt)
帶入之後, 右邊改用 phasor form, 兩邊 e(jωt) 就會直接消掉, 剩空間函數 f(x,y,z)
∇²f(x,y,z)= -k²*f(x,y,z)
再用分離變數法,把 f(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) 帶入得到:
(1/X)δX/δx² + (1/Y)δY/δy² + (1/Z)δZ/δz² = -k²
令第一項等於 -kx², 第二項等於 -ky², 第三項等於 -kz², 就能得到三條獨立二階微分方程
δX/δx² = - kx²X => X" = -kx²X
δY/δy² = - ky²Y => Y" = -ky²Y
δZ/δz² = - kz²Z => Z" = -kz²Z
其中 kx² + ky² + kz² = k², k = 2π/λ
上述微分方程式, 經兩次微分還是自己, 顯然是指數函數 e(-jφ) 的形式
X(x) = (A+)e(-j(kx)x) 或 (A-)e((jkx)x)
Y(y) = (B+)e(-j(ky)y) 或 (B-)e((jky)y)
Z(z) = (C+)e(-j(kz)z) 或 (C-)e((jkz)z)
只取正方向波來看
∵ E = X(x)Y(y)Z(z)*e(jωt)
∴ E = E0 * (-jxkx) * e(-jyky) * e(-jxkz)* e(jωt)
= E0 * e(-j(x kx + y ky +z kz)* e(jωt)
= E0 * e(-j(k•r - ωt))
如果將 k 看成是空間上的頻率, 而 λ 就是空間上的周期
速度 u = λ/T = 空間上的周期 / 時間上的周期
磁場也有相同的特性 ∇²H = -k²H, 因此也會有相同形式的方程式解
當導體內有電流時 J = σE, ρ = 0,
∇ X H = J + (jωε0)E = (σ + jωε0)E = jω(ε - jσ/ω)E
εc = ε - jσ/ω = ε' - jε" 稱為 complex permittivity
∇ X H = （jωεc)E 數學形式與推導 source free 相同, 波動方程式的解一定是相同形式, 因此不需再解一遍, 只要將其他常數變成複數
∇²E + kc²E = 0
其中 kc = ω²εcμc 是複數 wave number
εc = ε' - jε", 其中虛部代表著損耗, loss tangent δc = ε"/ε', δc 稱為 loss angle
當 ε" >> ε' 該介電質是良導體
當 ε' >> ε" 該介電質是絕緣體
電流 I = δQ/δt, 單位時間電荷差異
電流密度 J = δI/δs, 單位面激流過的電流
8.0 所謂平面波(plane wave), 就是說波前進時, 電場的相位是一整個平面一起前進
Wavefront: 空間上所有相位相同點集合稱為波前
一維波前只有一個點, 例如用波峰當作波前
二維波前形成一個曲線, 例如水波形成的同心圓往外傳播
三維波前形成一個平面, 例如電場/磁場
空間上所有相位相同點集合 φ = k•r = x kx + y ky +z kz 是一個三維空間的平面方程式
當 φ 是常數時, 意味著相位是常數
x kx + y ky +z kz = o
而 kx, ky, kz 是波前平面的法向量, 也就是波行進的方向
而且 kx² + ky² + kz² = k²
k = ω/u = 2π/λ
ex)平面方程式: V = ax + by + cz 當 V(x, y, z) = o 常數, 只要通過一點 (x0, y0, z0), 就可解出 o 的常數值
令平面任一點 (x, y, z) 與點 (x0, y0, z0) 組成向量
ê = î (x - x0) + ĵ(y - y0) + ĵ(z - z0)
平面的法向量
n̂ = î a + ĵ b + k̂ c
平面上所有向量 ê 必定與法向量 n̂ 垂直, 因此取內積等於
∵ ê•n̂ = 0
[î (x - x0) + ĵ (y - y0) + k̂(z - z0)] • [î a + ĵ b + k̂ c] = 0
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
∴ o = ax0 + by0 + cz0
將 ∇ 作用在 V 上
∇ V = (î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z) (ax + by + cz) = i a + j b + k c
可知 V 平面的法向量 n̂ 就是 ∇V
Transverse Electrimagnetic Wave: 往 z 軸傳播方向 k 視為縱向, 電磁場在橫向的電磁波
TEM: 電磁場 E & H 與 k 向量垂直, 傳播軸方向無電磁 E & H 場分量, Hz0=0 & Ez0 =0
TM : 傳播軸方向有電場 E 分量, 但沒 H 磁場分量 Hz0 = 0
TE : 傳播軸方向有磁場 H 分量, 但沒 E 電場分量 Ez0 = 0
